GRAFICA DE FUNCIONES

Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).

Ejemplo para discusión:

Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplos:

1)

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

2)

La función g(x) = -x³ es una función decreciente en los números reales.

3)

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

4)

La función f(x) = x² es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.

Función constante

Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.

Ejemplo:

En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero.

Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.

Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b).

Ejemplo:

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4).

Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica.

Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.

Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax² + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula:

f(x) = x² es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x² es cóncava hacia arriba.

f(x) = -x² es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x² es cóncava hacia abajo.

Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y.

Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:

1) f(x) = x² - 2x - 3

2) g(x) = -x² - 2x + 3

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x² + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica.

Función valor absoluto

La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:

Función dominio partido

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo:

La gráfica de esta función es:

El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (-¥, 0) È (0, ¥). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (-¥, -1) È (1, ¥). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0.

Función radical

La función es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:

Su dominio es [0, ¥) y el recorrido es [0, ¥).

INTEPRETACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS REALES

Distancia entre dos puntos:
Sean a y b respectivamente, las coordenadas de 2 puntos A y B sobre la recta numerica. La distancia entre A y B se denota d(A,B) esta denotada por:
d(A,B)=b-a
Ejemplo:
Sean los puntos
A=3 y B=−4 calcular la distancia que exite entre los dos.
d(3,−4)=−4–3
=−7
= 7
USO DE LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales pueden ser representados gráficamente en la recta numérica. Imagine la recta numérica, también llamada recta real, como una gran autopista de alta velocidad densamente transitada por vehículos de dos colores: unos amarillos (números racionales) y otros de color café (números irracionales). En esta autopista hay un punto de referencia, situado en el centro, conocido como el punto cero, 0. Los vehículos amarillos y cafés, se encuentran tanto a la izquierda como a la derecha del cero. Aparentemente hay un caos, a tal grado que los conductores deben permanecer estáticos; sin embargo cada conductor sabe exactamente el lugar que le corresponde a su vehículo en la autopista. Un hecho curioso: el controlador de la autopista había registrado la entrada de millones y millones de vehículos amarillos; sin embargo, en un recorrido realizado en helicóptero, la autopista se ve pintada de café. Esto es, a pesar de que han entrado muchísimos vehículos amarillos, éstos comparados con los de color café, quedan opacados. Es necesario aclarar, que por cada color de vehículo, los hay de diferentes modelos aunque, hay que decirlo, algunos de los modelos incluyen el de otros (subconjuntos).

NUMEROS REALES

1.0 INTRODUCCIÓN
3º 1.0.1 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
3º
      

      


 
     

     


  

  



 

 


 

NO RACIONALES 2 ; - 3 ; 5 ; ;Decimales no periódicos .....
Decimales periódicos mixtos : 7,31.....
;7,31;....
3
Decimales periódicos puros : 4
;......
4
Decimales exactos : 0,31 ; 3
FRACCIONARIOS .
; 8....
4
ENTEROS NEGATIVOS -11 ; - 24
; 81......
6
NATURALES (N) 0 ; 4 ; 24
ENTEROS (Z)
RACIONALES (Q)
????????
3
(Racionales no enteros)
3

3º 1.0.2 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador
entre el denominador.
3º Ejemplos:

4
8 = 2  Natural
 2,25
4
9   Decimal exacto
 1,333333.... 1,3
3
4 
   Decimal periódico puro
 1,166666.... 1,16
6
7 
   Decimal periódico mixto
3º 1.0.3 PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
3º Decimales exactos:
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero.
100N = 238 Despejar N
N =
100
238 Simplificar la fracción, si es posible  N =
50
119
3º Decimales periódicos puros:
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener otro número con el
mismo periodo.
100N = 238,38 Restarlos (Se van los periodos)
99N = 236 Despejar N
N =
99
236 Simplificar la fracción, si es posible  N =
99
236
Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales 2
3º Decimales periódicos mixto:
N = 2,38 
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico
puro
10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener otro número con el
mismo periodo.
100N = 238,8 Restarlos (Se van los periodos)
90N = 215 Despejar N
N =
90
215 Simplificar la fracción, si es posible  N =
18
43
1.1 NÚMEROS IRRACIONALES
3º INTRODUCCIÓN
3º Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números
enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.
3º Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como
cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica.
3º Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente
interesantes. Veamos alguno:
- La diagonal del cuadrado de lado 1: 2
- Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional.
- En general, si p es un número entero y n p no es un número entero (es
decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional.
- La diagonal de un pentágono de lado unidad:
2
5 1
  (“fi”: Número áureo)
- La relación entre la longitud de una circunferencia y su radio:  (“pi”)